x,y都是实数,且x^2+y^2=1,求证,|x^2+2xy-y^2| 小于等于根号2

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 03:27:14
急，今天要用。
如果x^2+y^2小于等于1，是否依然成立。
...兄弟，那个不是完全平方啊。是减y的平方呃。
我是高一升高二的学生，麻烦用均值不等式做。
谢谢下面的人呃，可是小于等于1的那个怎么证？

回答者：┈━═☆Nine - 魔法师 四级 7-20 13:08
是我小妹，希望你采纳她的答案。谢谢啦！

x^2+y^2<=1
求证：
|x^2+2xy-y^2|<=√2
设x^2+y^2<=t^2<=1
则x=tcosa,y=tsina (t<=1)
|x^2+2xy-y^2|=|t^2||(cosa)^2+2cosasina-(sina)^2|
=|t^2||cos2a+sin2a|=|t^2|√2|sin(2a+π/4)|<=|t^2|√2<=√2

要证|x^2+2xy-y^2| 小于等于根号2
即求(x-y)^2的最值
即x-y的最值
先把圆做出来....
然后做出y=x这条直线..
2个交点即为所求点.
可以得到
-根号2≤x-y≤根号2
所以得证..方法就是这样了。.
下面那个当然也是成立的...

设x=cosa,y=sina
|x^2+2xy-y^2|=|(cosa)^2+2cosasina-(sina)^2|
=|cos2a+sin2a|=根号2|sin(2a+派/4)|小于等于根号2
若小于设x<=cosa,y<=sina,最终依然成立

x=sina,y=cosa
|sina^2+2sina*cosa-cos^a2|
=|sin2a-cos2a|
=根号2|sin(2a+w)|
<=根号2
如果x^2+y^2小于等于1，等式也成立

x,y都是实数,且x^2+y^2=1

设X=cosa,Y=sina （三角换元法）

x^2+2xy-y^2
=(cosa)^2+2cosasina-(sina)^2
=cos2a+sin2a=根号2sin(2a+兀／4)

因为－1＜＝sin(2a+兀／4)＜＝1
所以根号2＜＝2sin(2a+兀／4)＜＝根号2

所以|x^2+2xy-